Hcfyk

Derivasjon er i matematikken eitt av to sentrale emne innan differensialrekning. Det andre er integrasjon.

Den deriverte gjev den momentane endringa til ein funksjon. For reelle funksjonar av ein variabel vert denne verdien kalla for funksjonen sitt stigningstal. Stigningstalet er definert som stigninga til tangenten til funksjonen i punktet og kan estimerast ved hjelp av sekantar. Ikkje alle funksjonar er deriverbare overalt. Til dømes for ein funksjon funksjon som er diskontinuerleg eller har ein loddrett tangent i eit punkt, vil den deriverte vere udefinert for dette punktet.

Terminologi |

Diskontinuerleg; ein funksjon som har eitt eller fleire verdiar der han ikkje er definert.
Kritisk punkt; eit punkt der den deriverte er lik 0.
Lokalt maks/min punkt; eit eller fleire kritiske punkt som har dei høgaste eller lågaste verdiane innanfor eit avgrensa definisjonsområde.
Absolutt maks/min punkt; eit eller fleire kritiske punkt som har dei høgaste eller lågaste verdiane, for alle definerbare verdiar. Absolutte maks/min punkt kan i mange tilfelle ikkje eksistere i det heile tatt t.d.:

f(x)=1x,x∈(0,∞){displaystyle f(x)={frac {1}{x}},quad xin (0,infty )}

Notasjon |

Lagrange sin notasjon |

For ein reell funksjon av ein variabel,  f(x){displaystyle f(x)}, er det vanleg å skrive  f′(x){displaystyle f'(x)},  f″(x){displaystyle f''(x)},
 f‴(x){displaystyle f'''(x)} og  f(n)(x){displaystyle f^{(n)}(x)},  n≥4{displaystyle ngeq 4}, for respektive første-, andre-, tredje- og høgare-ordens deriverte.

Leibniz sin notasjon |

I Leibniz sin notasjon vert symbolet ddx{displaystyle {frac {d}{dx}}} nytta for derivasjon med omsyn på  x{displaystyle x}. Vi skriv då df(x)dx{displaystyle {frac {df(x)}{dx}}} eller dfdx(x){displaystyle {frac {df}{dx}}(x)} for den deriverte til  f(x){displaystyle f(x)}. Dei høgare ordens deriverte vert skrive dnf(x)(dx)n{displaystyle {frac {d^{n}f(x)}{(dx)^{n}}}} eller dnf(dx)n(x){displaystyle {frac {d^{n}f}{(dx)^{n}}}(x)}. Ideen bak denne notasjonen er at differensiala  df{displaystyle df} og  dx{displaystyle dx} representerer «infinitesimale endringar» i verdiane til respektive  f{displaystyle f} og  x{displaystyle x}.

Newton sin notasjon |

Newton sin notasjon vert nytta innan fysikk og mekanikk, og spesielt når variabelen omhandlar tid. I denne notasjonen vert derivasjon skrive ved å sette prikkar over funksjonen. Til dømes om  x{displaystyle x} er ein funksjon av  t{displaystyle t}, så er x˙{displaystyle {dot {x}}} og x¨{displaystyle {ddot {x}}} respektive den første- og andre-deriverte av  x{displaystyle x}.

Euler sin notasjon |

I Euler sin notasjon er ideen å tenke på derivasjon som ein operator som verkar på funksjonar. Derivasjonsoperatoren vert skrive som  D{displaystyle D}, og vi skriv  Df(x){displaystyle Df(x)},  D2f(x){displaystyle D^{2}f(x)},  D3f(x){displaystyle D^{3}f(x)} og  Dnf(x){displaystyle D^{n}f(x)} for første-, andre-, tredje- og høgare-ordens deriverte. Dersom ein ønskjer å presisere at derivasjonen vert teke med omsyn på variabelen  x{displaystyle x}, kan ein skrive  Dxf(x){displaystyle D_{x}f(x)}.

Å finne den deriverte |

Ofte vil ein funksjon  f(x){displaystyle f(x)} vere gjeve ved ein formel, bygd opp frå kjende funksjonar ved operasjonane addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og samansetting. Derivasjonsreglane viser oss samanhengane mellom den deriverte til formelen og dei deriverte til bestanddelane. Så søker ein i lista over derivasjonsformlar for å finne dei deriverte til bestanddelane (dei kjende funksjonane som inngår i formelen).

Derivasjonsreglar |

Tenk at funksjonane  f{displaystyle f} og  g{displaystyle g} er deriverbare i punktet  x{displaystyle x} og at  c{displaystyle c} er ein konstant. Då er òg  cf{displaystyle cf},  f+g{displaystyle f+g},  f−g{displaystyle f-g},  f⋅g{displaystyle fcdot g} og fg{displaystyle {frac {f}{g}}} (føresett at  g(x)≠0{displaystyle g(x)neq 0}) òg deriverbare i  x{displaystyle x}, og den deriverte er gjeve ved:

•  (cf)′(x)=c⋅f′(x){displaystyle (cf)'(x)=ccdot f'(x)}


•  (f+g)′(x)=f′(x)+g′(x){displaystyle (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)}


•  (f−g)′(x)=f′(x)−g′(x){displaystyle (f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)}


• 
  Produktregelen:  (f⋅g)′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x){displaystyle (fcdot g)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}
  


• 
  Kvotientregelen: (fg)′(x)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g(x)2{displaystyle left({frac {f}{g}}right)'(x)={frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}}
  

Kjerneregelen: Tenk at  g{displaystyle g} er deriverbar i  x{displaystyle x} og  f{displaystyle f} er deriverbar i  g(x){displaystyle g(x)}. Då er den samansette funksjonen  h=f∘g{displaystyle h=fcirc g} gitt ved  h(x)=f(g(x)){displaystyle h(x)=f(g(x))} òg deriverbar i  x{displaystyle x} og den deriverte er gjeve ved:

 h′(x)=(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x){displaystyle h'(x)=(fcirc g)'(x)=f'(g(x))cdot g'(x)}

Den deriverte til den omvendte funksjonen: Tenk at  f{displaystyle f} er ein kontinuerleg, strengt monoton funksjon, som er deriverbar i punktet  x{displaystyle x} med  f′(x)≠0{displaystyle f'(x)neq 0}. Då er den omvendte funksjonen  g=f−1{displaystyle g=f^{-1}} deriverbar i  y=f(x){displaystyle y=f(x)} og vi har

 g′(y)=1f′(x){displaystyle g'(y)={frac {1}{f'(x)}}}.

Liste over derivasjonsformlar |

Generelle tilfelle

• For ein konstant  c{displaystyle c} er ddxc=0{displaystyle {frac {,d}{,dx}},c=0}.


• ddxx=1{displaystyle {frac {d}{dx}}x=1}


• ddxx2=2x{displaystyle {frac {d}{dx}}x^{2}=2x}


• ddxx3=3x2{displaystyle {frac {d}{dx}}x^{3}=3x^{2}}


• ddxaxn=naxn−1{displaystyle {frac {,d}{,dx}}ax^{n}=nax^{n-1}}


• ddx1x=−1x2{displaystyle {frac {d}{dx}}{frac {1}{x}}=-{frac {1}{x^{2}}}}


• ddxx=12x{displaystyle {frac {d}{dx}}{sqrt {x}}={frac {1}{2{sqrt {x}}}}}

For eksponentielle funksjonar

• 
  ddxex=ex{displaystyle {frac {,d}{,dx}}e^{x}=e^{x}} der  e{displaystyle e} er Eulertalet.


• 
  ddxax=axln⁡a{displaystyle {frac {d}{,dx}}a^{x}=a^{x}ln a} der  a>0{displaystyle a>0}.

For logaritmiske funksjonar

• 
  ddxln⁡x=1x{displaystyle {frac {d}{dx}}ln x={frac {1}{x}}} for  x>0{displaystyle x>0}, her er  ln{displaystyle ln } den naturlege logaritmen.


• 
  ddxlogb⁡x=1xln⁡b{displaystyle {frac {d}{dx}}log _{b}x={frac {1}{xln b}}} for  x>0{displaystyle x>0}.

For trigonometriske funksjonar

• ddxsin⁡x=cos⁡x{displaystyle {frac {,d}{,dx}}sin x=cos x}


• ddxcos⁡x=−sin⁡x{displaystyle {frac {,d}{,dx}}cos x=-sin x}


• ddxtan⁡x=sec2⁡x{displaystyle {frac {,d}{,dx}}tan x=sec ^{2}x}


• ddxcsc⁡x=−csc⁡xcot⁡x{displaystyle {frac {,d}{,dx}}csc x=-csc xcot x}


• ddxsec⁡x=sec⁡xtan⁡x{displaystyle {frac {,d}{,dx}}sec x=sec xtan x}


• ddxcot⁡x=−csc2⁡x{displaystyle {frac {,d}{,dx}}cot x=-csc ^{2}x}

For omvendte trigonometriske funksjonar

• ddxarcsin⁡(x)=11−x2{displaystyle {frac {d}{dx}}arcsin(x)={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}


• ddxarccos⁡(x)=−11−x2{displaystyle {frac {d}{dx}}arccos(x)=-{frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}


• ddxarctan⁡(x)=11+x2{displaystyle {frac {d}{dx}}arctan(x)={frac {1}{1+x^{2}}}}

For hyperbolske funksjonar

• ddxsinh⁡(x)=cosh⁡(x){displaystyle {frac {d}{dx}}sinh(x)=cosh(x)}


• ddxcosh⁡(x)=sinh⁡(x){displaystyle {frac {d}{dx}}cosh(x)=sinh(x)}


• ddxtanh⁡(x)=1cosh2⁡(x){displaystyle {frac {d}{dx}}tanh(x)={frac {1}{cosh ^{2}(x)}}}


• ddxcoth⁡(x)=−1sinh2⁡(x){displaystyle {frac {d}{dx}}coth(x)=-{frac {1}{sinh ^{2}(x)}}}

For omvendte hyperbolske funksjonar

• ddxarsinh⁡(x)=1x2+1{displaystyle {frac {d}{dx}}operatorname {arsinh} (x)={frac {1}{sqrt {x^{2}+1}}}}


• ddxarcosh⁡(x)=1x2−1{displaystyle {frac {d}{dx}}operatorname {arcosh} (x)={frac {1}{sqrt {x^{2}-1}}}}


• ddxartanh⁡(x)=11−x2{displaystyle {frac {d}{dx}}operatorname {artanh} (x)={frac {1}{1-x^{2}}}}

Døme |

Døme 1

La  f(x)=3x2−2x+1{displaystyle f(x)=3x^{2}-2x+1}. Vi finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglane for sum og differanse:

ddxf(x)=ddx(3x2−2x+1)=ddx(3x2)−ddx(2x)+ddx1=3ddxx2−2ddxx+ddx1=3⋅2x−2+0=6x−2{displaystyle {begin{matrix}{frac {d}{dx}}f(x)&={frac {d}{dx}}(3x^{2}-2x+1)\&={frac {d}{dx}}(3x^{2})-{frac {d}{dx}}(2x)+{frac {d}{dx}}1\&=3{frac {d}{dx}}x^{2}-2{frac {d}{dx}}x+{frac {d}{dx}}1\&=3cdot 2x-2+0\&=6x-2end{matrix}}}

Døme 2

La  f(x)=sin⁡(x)ecos⁡(x){displaystyle f(x)=sin(x)e^{cos(x)}}. Her må vi bruke produktregelen og kjerneregelen:

ddxf(x)=ddx(sin⁡(x)ecos⁡(x))=(ddxsin⁡(x))ecos⁡(x)+sin⁡(x)ddx(ecos⁡(x))=cos⁡(x)ecos⁡(x)+sin⁡(x)ecos⁡(x)ddx(cos⁡(x))=cos⁡(x)ecos⁡(x)+sin⁡(x)ecos⁡(x)(−sin⁡(x))=(cos⁡(x)−sin2⁡(x))ecos⁡(x){displaystyle {begin{matrix}{frac {d}{dx}}f(x)&={frac {d}{dx}}(sin(x)e^{cos(x)})\&=({frac {d}{dx}}sin(x))e^{cos(x)}+sin(x){frac {d}{dx}}(e^{cos(x)})\&=cos(x)e^{cos(x)}+sin(x)e^{cos(x)}{frac {d}{dx}}(cos(x))\&=cos(x)e^{cos(x)}+sin(x)e^{cos(x)}(-sin(x))\&=(cos(x)-sin ^{2}(x))e^{cos(x)}end{matrix}}}

Bruk av derivasjon i grafteikning |

Derivasjon kan nyttast når ein skal teikne grafar for funksjoner, ved at det kan nyttast til å finne tangentar, ekstrempunkt og vendepunkt.

Å finne tangenten til  f(x){displaystyle f(x)} i eit punkt |

Om  f{displaystyle f} er deriverbar i  x=a{displaystyle x=a}, så er likninga for tangenten til  f{displaystyle f} i  a{displaystyle a} gjeve ved:

 y=f′(a)(x−a)+f(a){displaystyle y=f'(a)(x-a)+f(a)}.

Ekstremalpunkt |

Kandidatar til minimums- og maksimumspunkt er dei  x{displaystyle x} der  f′(x)=0{displaystyle f'(x)=0}.

Vendepunkt |

Kandidatar til vendepunkt er dei  x{displaystyle x} der  f″(x)=0{displaystyle f''(x)=0}.

Krumming |

Grafen til  f{displaystyle f} krummar oppover når  f″(x)>0{displaystyle f''(x)>0}, og grafen krummar nedover når  f″(x)<0{displaystyle f''(x)<0}.

Teori for derivasjon |

Definisjon |

Hovudideen bak definisjonen av den deriverte er at f′(x0){displaystyle f'(x_{0})} er stigningstalet til tangenten til grafen av f{displaystyle f} i punktet (x0,f(x0)){displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}, og at sekanten gjennom punkta (x0,f(x0)){displaystyle (x_{0},f(x_{0}))} og (x0+Δx,f(x0+Δx)){displaystyle (x_{0}+Delta x,f(x_{0}+Delta x))} er ei god tilnærming til denne tangenten når Δx{displaystyle Delta x} går mot 0{displaystyle 0}. Stigningstallet til sekanten er gjeve ved:

f(x0+Δx)−f(x0)Δx{displaystyle {frac {f(x_{0}+Delta x)-f(x_{0})}{Delta x}}}

og vi definerer den deriverte av f{displaystyle f} i x0{displaystyle x_{0}} til å vere grenseverdien

limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx{displaystyle lim _{Delta xrightarrow 0}{frac {f(x_{0}+Delta x)-f(x_{0})}{Delta x}}}

dersom denne grenseverdien eksisterer, og vi skriv då f′(x0){displaystyle f'(x_{0})} for dette talet. Om grenseverdien ikkje eksisterer er funksjonen f{displaystyle f} ikkje deriverbar i x0{displaystyle x_{0}}.

Deriverbar funksjon |

Ein funksjon f{displaystyle f} vert kalla deriverbar i punktet x0{displaystyle x_{0}} dersom f′(x0){displaystyle f'(x_{0})} eksisterer. Ein funksjon vert kalla deriverbar dersom han er deriverbar i alle punkt i definisjonsmengden. Ein funksjon f{displaystyle f} vert kalla C1{displaystyle C^{1}} dersom den deriverte f′{displaystyle f'} er ein kontinuerleg funksjon.

Middelverdisetninga |

Dersom f:[a,b]→R{displaystyle f:left[a,bright]rightarrow mathbb {R} } er ein kontinuerleg funksjon, og deriverbar på det opne intervallet (a,b){displaystyle left(a,bright)}, så finst eit punkt c{displaystyle c} mellom a{displaystyle a} og b{displaystyle b} slik at:

f′(c)=f(b)−f(a)b−a{displaystyle f'(c)={frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}.

Bakgrunnsstoff |

• Funksjonskalkulator


• Derivasjon av funksjonar av fleire variable

Kjelder |